Question

（2013•歷城區一模）如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M．下列結論：①AE=CG，②AE⊥CG，③DM∥GE，④OM=OD，⑤∠DME=45°．正確結論的個數為（　　）

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

分析：根據正方形的性質可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，然后求出∠ADE=∠CDG，再利用“邊角邊”證明△ADE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CG，判定①正確；根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，再求出∠MEG+∠MGE=∠DEG+∠DGE=90°，然后求出∠EMG=90°，判定②正確；根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OM=OD=

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2

GE，判定④正確；求出點D、E、G、M四點共圓，再根據同弧所對的圓周角相等可得∠DME=∠DGE=45°，判定⑤正確；根據∠MGE≠45°可得∠DME≠∠MGE，判定DM∥GE錯誤．

解答：解：∵四邊形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG

，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE=CG，故①正確；
∠1=∠2，
∵∠MEG+∠MGE=∠MEG+∠DGE+∠1=∠MEG+∠2+∠DGE=∠DEG+∠DGE=45°+45°=90°，
∴∠EMG=180°-（∠MEG+∠MGE）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG，故②正確；
∵O是正方形DEFG的對角線的交點，
∴OE=OG，
∴OM=OD=

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GE，故④正確；
∵∠EMG=∠EDG=90°，
∴點D、E、G、M四點共圓，
∴∠DME=∠DGE=45°，故⑤正確；
∵∠MGE≠∠DEG=45°，
∴∠DME≠∠MGE，
∴DM∥GE不成立，故③錯誤；
綜上所述，正確的有①②④⑤共4個．
故選C．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，以及四點共圓，熟練掌握各性質是解題的關鍵．