Question

（2012•寧波）如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-1，0），B（2，0），交y軸于C（0，-2），過A，C畫直線．
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；
（3）點M在二次函數圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H．
①若M在y軸右側，且△CHM∽△AOC（點C與點A對應），求點M的坐標；
②若⊙M的半徑為

4

5

5

，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據與x軸的兩個交點A、B的坐標，設出二次函數交點式解析式y=a（x+1）（x-2），然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式；
（2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根據相似三角形對應角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是-2，代入拋物線解析式計算即可；（ii）點H在點C上方時，根據（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯立求解即可得到點M的坐標；
②在x軸上取一點D，過點D作DE⊥AC于點E，可以證明△AED和△AOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點M的坐標．

解答：解：（1）設該二次函數的解析式為：y=a（x+1）（x-2），
將x=0，y=-2代入，得-2=a（0+1）（0-2），
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x-2），
即y=x²-x-2；

（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=

3

2

，
即OP=

3

2

；

（3）①∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠CAO，
（i）如圖1，當H在點C下方時，
∵∠MCH=∠CAO，
∴CM∥x軸，
∴y_M=-2，
∴x²-x-2=-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=1，
∴M（1，-2），
（ii）如圖1，當H在點C上方時，
∵∠MCH=∠CAO，
∴PA=PC，由（2）得，M′為直線CP與拋物線的另一交點，
設直線CM的解析式為y=kx-2，
把P（

3

2

，0）的坐標代入，得

3

2

k-2=0，
解得k=

4

3

，
∴y=

4

3

x-2，
由

4

3

x-2=x²-x-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=

7

3

，
此時y=

4

3

×

7

3

-2=

10

9

，
∴M′（

7

3

，

10

9

），

②在x軸上取一點D，如圖（備用圖），過點D作DE⊥AC于點E，使DE=

4 5

5

，
在Rt△AOC中，AC=

AO2+CO2

=

12+22

=

5

，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴

AD

AC

=

DE

OC

，
即

AD

5

=

4 5 5

2

，
解得AD=2，
∴D（1，0）或D（-3，0）．
過點D作DM∥AC，交拋物線于M，如圖（備用圖）
則直線DM的解析式為：y=-2x+2或y=-2x-6，
當-2x-6=x²-x-2時，即x²+x+4=0，方程無實數根，
當-2x+2=x²-x-2時，即x²+x-4=0，解得x₁=

-1- 17

2

，x₂=

-1+ 17

2

，
∴點M的坐標為（

-1- 17

2

，3+

17

）或（

-1+ 17

2

，3-

17

）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，勾股定理，相似三角形的性質，兩函數圖象交點的求解方法，綜合性較強，難度較大，要注意分情況討論求解．