Question

（2013•長沙）設a、b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[a，b]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數是閉區間[m，n]上的“閉函數”．
（1）反比例函數y=

2013

x

是閉區間[1，2013]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；
（2）若一次函數y=kx+b（k≠0）是閉區間[m，n]上的“閉函數”，求此函數的解析式；
（3）若二次函數y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

是閉區間[a，b]上的“閉函數”，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數y=

2013

x

的單調區間進行判斷；
（2）根據新定義運算法則列出關于系數k、b的方程組

km+b=m kn+b=n

或

km+b=n kn+b=m

，通過解該方程組即可求得系數k、b的值；
（3）y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

=

1

5

（x-2）²-

11

5

，所以該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是-

11

5

，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大；根據新定義運算法則列出關于系數a、b的方程組

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =b 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =a

或

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =a 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =b

，通過解方程組即可求得a、b的值．

解答：解：（1）反比例函數y=

2013

x

是閉區間[1，2013]上的“閉函數”．理由如下：
反比例函數y=

2013

x

在第一象限，y隨x的增大而減小，
當x=1時，y=2013；
當x=2013時，y=1，
所以，當1≤x≤2013時，有1≤y≤2013，符合閉函數的定義，故
反比例函數y=

2013

x

是閉區間[1，2013]上的“閉函數”；

（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．
①當k＞0時，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而增大，故根據“閉函數”的定義知，

km+b=m kn+b=n

，
解得

k=1 b=0

．
∴此函數的解析式是y=x；
②當k＜0時，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而減小，故根據“閉函數”的定義知，

km+b=n kn+b=m

，
解得

k=-1 b=m+n

．
∴此函數的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

=

1

5

（x-2）²-

11

5

，
∴該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是-

11

5

，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大；
①當b≤2時，此二次函數y隨x的增大而減小，則根據“閉函數”的定義知，

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =b 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =a

，
解得，

a=1 b=-2

（不合題意，舍去）或

a=-2 b=1

；
②當a＜2＜b時，此時二次函數y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

的最小值是-

11

5

=a，根據“閉函數”的定義知，b=

1

5

a²-

4

5

a-

7

5

、b=

1

5

b²-

4

5

b-

7

5

；
a）當b=

1

5

a²-

4

5

a-

7

5

時，由于b=

1

5

（-

11

5

）²-

4

5

×（-

11

5

）-

7

5

=

166

125

＜2，不合題意，舍去；
b）當b=

1

5

b²-

4

5

b-

7

5

時，解得b=

9± 109

2

，
由于b＞2，
所以b=

9+ 109

2

；
③當a≥2時，此二次函數y隨x的增大而增大，則根據“閉函數”的定義知，

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =a 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =b

，
解得，

a= 9- 109 2 b= 9+ 109 2

，
∵

9- 109

2

＜0，
∴舍去．
綜上所述，

a=-2 b=1

或

a=- 11 5 b= 9+ 109 2

．

點評：本題綜合考查了二次函數圖象的對稱性和增減性，一次函數圖象的性質以及反比例函數圖象的性質．解題的關鍵是弄清楚“閉函數”的定義．解題時，也要注意“分類討論”數學思想的應用．