Question

在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂，那么點A₃的縱坐標是       ，點A₂₀₁₃的縱坐標是       ．

Answer 1

，．

解析試題分析：利用待定系數法求一次函數解析式求出直線的解析式，再求出直線與x軸、y軸的交點坐標，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到各點的縱坐標的規律：
∵A₁（1，1），A₂在直線y=kx+b上，∴ ，解得.∴直線解析式為.
如圖，設直線與x軸、y軸的交點坐標分別為A、D.
當x=0時，y=，當y=0時，，解得x=－4.
∴點A、D的坐標分別為A（－4，0 ），D（0，）.∴.
作A₁C₁⊥x軸與點C₁，A₂C₂⊥x軸與點C₂，A₃C₃⊥x軸與點C₃，
∵A₁（1，1），A₂，∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×=2+3=5，.
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，∴A₃C₃=B₂C₃。∴.
同理可求，第四個等腰直角三角形. 依次類推，點An的縱坐標是.
∴A₃的縱坐標是，點A₂₀₁₃的縱坐標是．

考點：1.探索規律題（圖形的變化類）；2.一次函數綜合題；3.直線上點的坐標與方程的關系4.銳角三角函數定義；5.等腰直角三角形的性質.