Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一個動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BC方向運動，過點P作PQ⊥BC，交折線段BA-AD于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點N在射線BC上，當Q點到達D點時，運動結(jié)束．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點D時，求運動時間t的值；
（2）在整個運動過程中，設正方形PQMN與△BCD的重合部分面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當點Q在線段AD上運動時，線段PQ與對角線BD交于點E，將△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，連接PF．是否存在這樣的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）t=4；
（2）S=；
（3）存在，當t=4、或時，△PEF是等腰三角形．

解析試題分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，可以得出四邊形AGHD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相關條件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出結(jié)論t的值；
（2）運用求分段函數(shù)的方法，分四種情況，當0＜t≤3，當3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8時，運用梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以求出S的值；
（3）先由條件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分為三種情況：EF=EP時可以求出t值，當FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，可以求出t值．
試題解析：（1）如圖2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，

∴四邊形AGHD為矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=（BC-AD）=3，AG=4，
∴當正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點D時，點M與點D重合，此時MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒時，正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點D；
（2）如圖1，當0＜t≤3時，BP=t，

∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，
∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，
∴NR=t，
∴S=；
如圖3，當3＜t≤4時，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=t+2，
∴S==2t+4；
如圖4，當4＜t≤7時，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=，
∴S=；
如圖5，當7＜t≤8時，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，
∴S=
∴S=；
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=，
由（1）可知EP=BP=t，
則EF=EQ=PQ-EP=4-t，
①如圖6，當EF=EP時，4-t=t，
∴t=4；

②如圖7，當FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，

∴ER=EP=EF，
∴t=（4-t)，
∴t=；
③如圖8，當PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，

∵ES=EF=PE，
∴（4-t) =×t，
∴t=．
∴當t=4、或時，△PEF是等腰三角形．