Question

某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

●操作發現：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是        （填序號即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB．

●數學思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；

●類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．

答：        ．

 

Answer 1

【答案】

解：

●操作發現：①②③④。

●數學思考：答：MD=ME，MD⊥ME， 證明如下：

１、MD=ME：

如圖，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中點，∴MF∥AC，MF=AC。

又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，

∴EG⊥AC且EG=AC。

∴MF=EG。

同理可證DF=MG。

∵MF∥AC，∴∠MFA＋∠BAC=180⁰。

同理可得∠MGA+∠BAC=180⁰。

∴∠MFA=∠MGA。

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90⁰。

同理可得∠DFA=90⁰。

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG。

又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS）。∴MD=ME。

2、MD⊥ME：

∵MG∥AB，∴∠MFA+∠FMG=180⁰。

又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF。

∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180⁰。

∵∠MFA+∠FMD+∠MDF=90⁰，∴∠DME=90°，即MD⊥ME。

●類比探究：答：等腰直角三解形。

【解析】

試題分析：（1） 由圖形的對稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DMB=45⁰也正確。

（2）受圖1△DFM≌△MGE的啟發，應想到取中點構造全等來證MD=ME，證MD⊥ME就是要證∠DME=90⁰，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四個角相加為180°，∠FMG可看成三個角的和，通過變形計算可得∠DME=90⁰。

（3）在（2）的基礎易知為等腰直角三解形。