Question

閱讀理解并回答問題．
（1）觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…
（2）請你猜想出表示（1）中的特點的一般規律，用含x（x表示整數）的等式表示

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（3）請利用上述規律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（2）觀察（1），可得規律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；
（3）由（2）中的規律，可將原方程化為

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，即可得

1

x-4

=

2

x+1

，解此方程即可求得答案．

解答：解：（2）由（1）可得：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；

（3）原方程變形為：

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
即

1

x-4

=

2

x+1

，
∴x+1=2（x-4），
解得：x=9，
檢驗：左邊=

1

10

，右邊=

1

10

，即x=9是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為：x=9．

點評：此題考查了分式的加減運算與分式方程的解法．此題難度適中，解題的關鍵是得到規律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．