Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點E在AC上（點E與A、C都不重合），點F在斜邊AB上（點F與A、B都不重合）．
（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周長，設AE=x，△AEF的面積為y，寫出y與x之間的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（Ⅱ）試問：是否存在直線EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周長為12，又因EF平分三角形ABC的周長，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6-x
過點F作FD⊥AC于D
則

DF

AF

=sinA=

BC

AB

=

4

5

∴

DF

6-x

=

4

5

∴DF=

4

5

(6-x)
所以y=

1

2

AE•DF=

1

2

x•

4

5

(6-x)=-

2

5

x²+

12

5

x（1＜x＜3）

（Ⅱ）這樣的EF存在，
S△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×4×3=6
∵EF平分△ABC的面積，
所以-

2

5

x²+

12

5

x=3
解得：x=

6± 6

2

∵1＜x＜3
∴x取

6- 6

2

∴6-x=6-

6- 6

2

=

6+ 6

2

＜5
符合題意，所以這樣的EF存在，此時AE=

6- 6

2

．