Question

（2012•咸豐縣二模）已知函數y=-x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、D，與雙曲線y=

k

x

交于點B、C，若AB+CD=BC，則k的值為（　　）

A．2

B．3

C．4

D．8

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，過C作CF⊥x軸，交x軸于點F，過B作BG⊥y軸，交y軸于點G，兩垂線交于E點，如圖所示，對于一次函數分別求出A與D的坐標，得到三角形OAD為等腰直角三角形，利用勾股定理求出AD的長，由AB+CD=BC，得到BC的長為AD的一半，求出BC的長，聯立兩函數解析式，消去y得到關于x的一元一次方程，設方程兩根分別為x₁，x₂，即C（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=4，x₁x₂=k，表示出CE與BE，在直角三角形BCE中，利用勾股定理列出關系式，將各自的值代入變形后，將兩根之和與兩根之積代入列出關于k的方程，求出方程的解即可的k的值．

解答：解：過C作CF⊥x軸，交x軸于點F，過B作BG⊥y軸，交y軸于點G，兩垂線交于E點，如圖所示，
對于一次函數y=-x+4，
令y=0，求出x=4；令x=0，求出y=4，
∴A（4，0），D（0，4），
∴△AOD為等腰直角三角形，即AD=4

2

，
聯立兩函數解析式得：

y=-x+4 y= k x

，
消去y得到：x²-4x+k=0，
∵△=16-4k＞0，即k＜4，
∴設方程兩根分別為x₁，x₂，即C（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=4，x₁x₂=k，
∵AB+CD=BC，
∴BC=

1

2

AD=2

2

，
∵CE=y₂-y₁=-x₁+4-（-x₂+4）=x₂-x₁，BE=x₁-x₂，
∴根據勾股定理得：BC²=CE²+BE²，即（x₁-x₂）²+（x₂-x₁）²=2（x₁-x₂）²=8，即（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即16-4k=4，
解得：k=3．
故選B．

點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：根與系數的關系，完全平方公式的運用，一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形性質，是一道綜合性較強的試題．