Question

如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸；
（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=-x²+x+4，x=3；（2）C（0，4）；y=?x+4．（3）Q₁（3，0），Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=?求出對稱軸方程；
（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標．再利用待定系數法求出直線BD的解析式；
（3）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．
（1）∵拋物線y=-x²+bx+4的圖象經過點A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，
解得：b=，
∴拋物線解析式為 y=-x²+x+4，
又∵y=-x²+x+4=-（x-3）²+，
∴對稱軸方程為：x=3．
（2）在y=-x²+x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-x²+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：
，
解得，
∴直線BC的解析式為：y=?x+4．
∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，
可設點Q（3，t），則可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）當AQ=CQ時，有=，
25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）當AC=AQ時，有
t²=-5，此方程無實數根，
∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；
iii）當AC=CQ時，有，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴點Q坐標為：Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q₁（3，0），Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．