Question

三角板是我們常用的數學工具．下圖是將一個三角板的直角頂點放在另一個等腰直角三角形斜邊BC的中點D處轉動，DE與AB交于點M，DF與AC交于點N（點M、N不與△ABC頂點重合），連接AD．
（1）圖中與∠ADM一定相等的是哪一個角？為什么？
（2）圖中與△AMD一定全等的是哪一個三角形？為什么？
（3）當CN=1，DN=

2

，求線段AN的長．

Answer 1

分析：（1）根據∠ADC=∠MDN=90°，都減去∠AON即可求出答案；
（2）求出∠DAM=∠C=45°，求出AD=DC，根據ASA證兩三角形全等即可；
（3）過N作NH⊥BC于H，求出NH=CH=

2

2

，由勾股定理求出DH，證△CHN∽△CDA推出

CH

CD

=

CN

AC

，代入求出即可．

解答：解：（1）圖中與∠ADM一定相等的角是∠CDN，
理由是：∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°=∠MDN，
∴∠MDN-∠ADN=∠ADC-∠ADN，
即∠ADM=∠CDN．

（2）圖中與△AMD一定全等的三角形是△CND，
理由是：∵AB=AC，BD=DC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，AD=DC=BD=

1

2

BC，
∴∠DAM=∠C，
在△AMD和△CND中

∠DAM=∠C AD=DC ∠ADM=∠CDN

，
∴△AMD≌△CND（ASA）．

（3）
過N作NH⊥BC于H，
∵AD⊥BC，
∴AD∥NH，∠NHC=∠NHD=90°，
∵∠C=45°，CN=1，
∴sin45°=

NH

CN，

，cos45°=

CH

CN

，
∴NH=CH=

2

2

，
在Rt△DNH中，由勾股定理得：DH=

( 2 )2-( 2 2 )2

=

6

2

，
∵NH∥AD，
∴△CHN∽△CDA，
∴

CH

CD

=

CN

AC

，
∴

2 2

2 2 + 6 2

=

1

1+AN

，
AN=

3

．

點評：本題考查了等腰三角形性質，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質，相似三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的綜合運用，題目比較好，但有一定的難度．