Question

如圖,在平面直角坐標系中,頂點為（4,1）的拋物線交軸于點,交軸于,兩點（點在點的左側）,已知點坐標為（6,0）.

（1）求此拋物線的解析式；
（2）聯結AB,過點作線段的垂線交拋物線于點,如果以點為圓心的圓與拋物線的對稱軸相切,先補全圖形,再判斷直線與⊙的位置關系并加以證明；
（3）已知點是拋物線上的一個動點,且位于,兩點之間.問：當點運動到什么位置時,的面積最大？求出的最大面積.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為；
（2）直線BD與⊙相離；
（3）的最大面積是.

解析試題分析：（1）根據頂點坐標列出頂點式，再將C點坐標代入即可；
（2）先求出圓的半徑，再借助三角形相似，求出C到直線的距離，比較他們的大小即可；
（3）過點作平行于軸的直線交于點.設出點坐標，求出PQ的值，再表示出
的面積，借助函數關系式求出最值.
試題解析：（1）∵拋物線的頂點為（4,1）,
∴設拋物線解析式為.
∵拋物線經過點（6,0）,
∴.
∴.
∴.
所以拋物線的解析式為；
(2)補全圖形、判斷直線BD與⊙相離
令=0,則,. 
∴點坐標（2,0）.
又∵拋物線交軸于點,
∴A點坐標為（0,-3）,
∴.
設⊙與對稱軸l相切于點F,則⊙的半徑CF=2,
作⊥BD于點E,則∠BEC=∠AOB=90°.

∵,
∴.
又∵,
∴.
∴∽,
∴.
∴,
∴.
∴直線BD與⊙相離；
(3)如圖,過點作平行于軸的直線交于點.

∵A（0,-3）,（6,0）.
∴直線解析式為.
設點坐標為（,）,
則點的坐標為（,）.
∴PQ=-()=.
∵,
∴當時,的面積最大為 
∵當時,=
∴點坐標為（3,）.
綜上：點的位置是（3,）,的最大面積是.
考點：拋物線,圓,動點問題.