Question

（2012•上海）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=

1

2

，EF⊥OD，垂足為F．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數式表示）；
（3）當∠ECA=∠OAC時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）已知點A、B坐標，用待定系數法求拋物線解析式即可；
（2）關鍵是證明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形對應邊的比例關系以及三角形函數的定義求解；
（3）如解答圖，通過作輔助線構造一對全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的長度；然后利用勾股定理求得AE、EG的長度（用含t的代數式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到關于t的無理方程，解方程求出t的值．

解答：解：（1）二次函數y=ax²+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（-1，0），
∴

16a+6×4+c=0 a-6+c=0

，解得

a=-2 c=8

，
∴這個二次函數的解析式為：y=-2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴

EF

DO

=

ED

DA

．
∵

ED

DA

=tan∠DAE=

1

2

，
∴

EF

DO

=

1

2

，
∴

EF

t

=

1

2

，
∴EF=

1

2

t．
同理

DF

OA

=

ED

DA

，
∴DF=2，
∴OF=t-2．

（3）∵拋物線的解析式為：y=-2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如圖，連接EC、AC，過A作EC的垂線交CE于G點．
∵∠ECA=∠OAC，
在△GCA與△OAC中，

∠GCA=∠CAO AC=AC ∠COA=∠CGA

，
∴△GCA≌△OAC，
∴CG=4，AG=OC=8．
如圖，過E點作EM⊥x軸于點M，則在Rt△AEM中，
∴EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+

1

2

t，
由勾股定理得：
∵AE²=AM²+EM²=(4+

1

2

t)2+(t-2)2；
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
∴EG=

AE2-AG2

=

(4+ 1 2 t)2+(t-2)2-82

=

5 4 t2-44

∵在Rt△ECF中，EF=

1

2

t，CF=OC-OF=OC-EM=8-（t-2）=10-t，CE=CG+EG=

5 4 t2-44

+4
由勾股定理得：EF²+CF²=CE²，
即(

1

2

t)2+(10-t)2=(

5 4 t2-44

+4)2，
解得t₁=10，t₂=6，
∵當t=10時，CF=10-10=0，
∴不合題意舍去，
∴t=6．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理和待定系數法求二次函數解析式等多個知識點，難度較大．第（3）問中，涉及到無理方程的求解，并且計算較為復雜，注意不要出錯．