Question

如圖在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，動點P從A出發以2厘米/秒的速度沿AB方向向點B運動，動點Q從點B出發以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向點D運動，兩個動點同時出發，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止．設動點運動的時間為t秒．
（1）求邊BC的長；
（2）當t為何值時，PC與BQ相互平分；
（3）連接PQ，設△PBQ的面積為y，探求y與t的函數關系式，求t為何值時，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）作CE⊥AB于E，根據坡度的定義進行求解；
（2）要使PC與BQ相互平分，只需保證四邊形CPBQ是平行四邊形，即可得到關于t的方程，進行求解；
（3）此題要分兩種情況考慮：點Q在BC上，即0≤t≤3

1

3

時；當點Q在CD上，即3

1

3

＜t≤4

2

3

．
根據三角形的面積公式建立函數關系式，再進一步求解．

解答：解：（1）作CE⊥AB于E，則四邊形ADCE是矩形．
則CE=AD=6．
又BC的坡度i=CE：BE=3：4，且BE⊥CE，
則CE：BC=3：5，
則BC=10；

（2）要使PC與BQ相互平分，只需保證四邊形CPBQ是平行四邊形，即PB=CQ．
由（1），得AB=4+8=12，則PB=12-2t．
則12-2t=3t-10，
t=4.4．

（3）當0≤t≤3

1

3

時，則BP=12-2t，QF=

3

5

×3t=

9

5

t，
y=

1

2

×

9

5

t（12-2t）=-

9

5

t²+

54

5

t，
當t=3時，y最大，是16.2；
當3

1

3

＜t≤4

2

3

時，則y=

1

2

×6×（12-2t）=-6t+36，
則t=3

1

3

時，y最大，是16．
綜上所述，則當t=3時，y最大，是16.2．

點評：此題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定、解直角三角形的知識、三角形的面積公式．能夠借助函數的知識討論圖形的面積最值問題．