Question

計算

(34+4)(74+4)(114+4)(154+4)…(394+4)

(54+4)(94+4)(134+4)(174+4)…(414+4)

=

 

．

Answer 1

分析：首先分式

(34+4)(74+4)(114+4)(154+4)…(394+4)

(54+4)(94+4)(134+4)(174+4)…(414+4)

，都含有x⁴+4的形式．因而對x⁴+4進行因式分解，轉化為[（x+1）²+1][（x-1）²+1]形式．套用該規律，將各數代入，將原式寫為

(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)…(382+1)(402+1)

(42+1)(62+1)(82+1)(102+1)…(402+1)(422+1)

=

22+1

422+1

=

1

353

，通過分子、分母約分化簡，即可求得結果．

解答：解：x⁴+4=（x²+2）²-（2x）²=（x²+2x+2）（x²-2x+2）=[（x+1）²+1][（x-1）²+1]，
∴原式=

(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)…(382+1)(402+1)

(42+1)(62+1)(82+1)(102+1)…(402+1)(422+1)

=

22+1

422+1

=

1

353

．
故答案為：

1

353

．

點評：本題考查因式分解的應用．解決本題的關鍵是找到題目中蘊含的共性規律x⁴+4=（x²+2）²-（2x）²=（x²+2x+2）（x²-2x+2）=[（x+1）²+1][（x-1）²+1]．