Question

已知：拋物線y=ax²+bx+4的對稱軸為x=-1，且與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，其中點A的坐標為（-3，0），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意得

- b 2a =-1 9a-3b+4=0

，
解得

a=- 4 3 b=- 8 3

∴拋物線的解析式為y=-

4

3

x²-

8

3

x+4．

（2）∵D是拋物線y=-

4

3

x²-

8

3

x+4的頂點
∴點D的坐標為（-1，

16

3

）
設AC與拋物線對稱軸的交點為E
∴DE=

16

3

-

8

3

=

8

3

∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=

1

2

×

8

3

×2+

1

2

×

8

3

×1=4．

（3）設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H
若PC∥AB，則點P（-1，4）；
若PB∥AC，△PHB∽△COA，
∴

PH

CO

=

BH

AO

，即

PH

4

=

2

3

，
解得PH=

8

3

．
∴P（-1，-

8

3

）；
若PA∥BC，則△PHA∽△COB，
∴

PH

CO

=

AH

BO

，
即

PH

4

=

2

1

，
解得PH=8
∴P（-1，-8）．
因此符合條件的P點有三個：（-1，4）；（-1，-

8

3

）；（-1，-8）．