Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線解析式及點D坐標；
（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；
（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應點為Q′．是否存在點P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2，點D坐標為（3，2）（2）p₁（0，2）；p₂（，﹣2）；p₃（，﹣2）（3）點P坐標為（，），（﹣，）．

試題分析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，
∴，
解得：
∴y=﹣x²+x+2；
當y=2時，﹣x²+x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍），
即：點D坐標為（3，2）．
（2）A，E兩點都在x軸上，AE有兩種可能：
①當AE為一邊時，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②當AE為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，
可知P點、D點到直線AE（即x軸）的距離相等，
∴P點的縱坐標為﹣2，
代入拋物線的解析式：﹣x²+ x+2=﹣2
解得：x₁=，x₂=，
∴P點的坐標為（，﹣2），（，﹣2）
綜上所述：p₁（0，2）；p₂（，﹣2）；p₃（，﹣2）．
(3)存在滿足條件的點P，顯然點P在直線CD下方，設直線PQ交x軸于F，
點P的坐標為（a，﹣a²+ a+2），

①當P點在y軸右側時（如圖1），CQ=a，
PQ=2﹣（﹣a²+a+2）=a²﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′～△Q′FP，，，
∴Q′F=a﹣3，
∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，
此時a= ，點P的坐標為（，），
②當P點在y軸左側時（如圖2）此時a＜0，，﹣a²+ a+2＜0，CQ=﹣a，
PQ=2﹣（﹣a²+a+2）=a²﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′～△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=，
此時a=﹣，點P的坐標為（﹣，）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（，），（﹣，）．
點評：本題考查二次函數，相似三角形，本題需要考生掌握待定系數法，會用待定系數法求解析式，掌握相似三角形的判定方法，會證明兩個三角形相似