Question

如圖，拋物線與軸相交于點（﹣1，0）、（3，0），與軸相交于點，點為線段上的動點（不與、重合），過點垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點、，點在軸正半軸上，=2，連接、．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；
（3）過點的直線將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：；(2)點坐標為或；(3) ①當時，所求直線的解析式為：；②當時，所求直線的解析式為：.

試題分析：
（1）將點和點的坐標代入拋物線函數中，可求出未知量，.則可求出該拋物線解析式；（2）由平行四邊形的性質可知，，用含未知量的代數式表示的長度。則可得點坐標 ；（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點與對稱中心的直線平分的面積．求得此直線，首先要求得對稱中心的坐標.則兩點坐標可確定該直線.
試題解析：
（1）點、在拋物線上，
∴，
解得，，拋物線的解析式為：．
（2）在拋物線解析式中，令，得，．
設直線BC的解析式為，將，坐標代入得：
，解得，，∴．
設點坐標為，則，，
∴
四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，即，
解得或，
∴點坐標為或．
（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點與對稱中心的直線平分的面積．
①當時，點坐標為，又
設對角線的中點為，則．
設直線的解析式為，將，坐標代入得：
，
解得， ，∴所求直線的解析式為：；
②當時，
點坐標為，又，
設對角線的中點為，則．
設直線的解析式為，將，坐標代入得：
，解得，，所求直線的解析式為:．
綜上所述，所求直線的解析式為：或．

【考點】1.一次函數解析式的解法；2.二次函數解析式的解法.