Question

已知，如圖，拋物線的頂點為C（1，-2），直線y=kx+m與拋物線交于A、B兩點，其中OA=3，B點在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設點P的橫坐標為x，求點E坐標（用含x的代數式表示）；
（3）點D是直線AB與這條拋物線對稱軸的交點，是否存在點P，使得以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在拋物線上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=，
∴y=（x-1）²-2，
當x=0時，y=-，
∴B（0，-），
∴設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A、B的坐標代入解析式得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=x-；

（2）∵P為線段AB上的一個動點，PE⊥x軸，且P點橫坐標為x，
∴E點橫坐標為x，
∵E在拋物線上，
∴E點坐標為（x，（x-1）²-2）；

（3）D點在拋物線y=（x-1）²-2的對稱軸上，橫坐標為1，
又∵D點直線AB上，
∴D的坐標為：D（1，-1），
①當∠DEP=90°時，如圖，△AOB∽△EDP，
∴=．
過點D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴=，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x-1，
∴DP=（x-1），
∴==，
解得：x=-1±（負值舍去）．
∴P（-1，）（如圖中的P₁點）；
②當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，
∴=．
由（2）PE=-x²+x，DE=x-1，
∴=，
解得：x=1±，（負值舍去）．
∴P（1+，-1）（如圖中的P₂點）；
綜上所述，P點坐標為（1+，-1）或（-1，）．
分析：（1）首先設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，由A點坐標為（3，0），則可將A點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法即可求得這個二次函數的解析式，當x=0時求出點C的坐標，設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入解析式，求出k，b的值即可得出AB的解析式；
（2）根據點橫坐標為x，且PE⊥x軸，可得E點橫坐標為x，又知E點在拋物線上，代入x即可得出E點坐標；
（3）分別從當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP與當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP兩種情況去分析，注意利用相似三角形的對應邊成比例等性質，即可求得答案，注意不要漏解．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想，分類討論思想與數形結合思想的應用．