Question

（2013•梧州）我市某商場有甲、乙兩種商品，甲種每件進價15元，售價20元；乙種每件進價35元，售價45元．
（1）若商家同時購進甲、乙兩種商品100件，設甲商品購進x件，售完此兩種商品總利潤為y 元．寫出y與x的函數關系式．
（2）該商家計劃最多投入3000元用于購進此兩種商品共100件，則至少要購進多少件甲種商品？若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤是多少元？
（3）“五•一”期間，商家對甲、乙兩種商品進行表中的優惠活動，小王到該商場一次性付款324元購買此類商品，商家可獲得的最小利潤和最大利潤各是多少？

打折前一次性購物總金額	優惠措施
不超過400元	售價打九折
超過400元	售價打八折

Answer 1

分析：（1）根據利潤=甲種商品的利潤+乙種商品的利潤就可以得出結論；
（2）根據“商家計劃最多投入3000元用于購進此兩種商品共100件”列出不等式，解不等式求出其解，再根據一次函數的性質，求出商家可獲得的最大利潤；
（3）設小王到該商場購買甲種商品m件，購買乙種商品n件．分兩種情況討論：①打折前一次性購物總金額不超過400；②打折前一次性購物總金額超過400．

解答：解：（1）設甲商品購進x件，則乙商品購進（100-x）件，由題意，得
y=（20-15）x+（45-35）（100-x）=-5x+1000，
故y與x之間的函數關系式為：y=-5x+1000；

（2）由題意，得15x+35（100-x）≤3000，
解之，得x≥25．
∵y=-5x+1000，k=-5＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x取最小值25時，y最大值，此時y=-5×25+1000=875（元），
∴至少要購進25件甲種商品；若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤是875元；

（3）設小王到該商場購買甲種商品m件，購買乙種商品n件．
①當打折前一次性購物總金額不超過400時，購物總金額為324÷0.9=360（元），
則20m+45n=360，m=18-

9

4

n＞0，∴0＜n＜8．
∵n是4的倍數，
∴n=4，m=9．
此時的利潤為：324-（15×9+35×4）=49（元）；
②當打折前一次性購物總金額超過400時，購物總金額為324÷0.8=405（元），
則20m+45n=405，m=

81-9n

4

＞0，∴0＜n＜9．
∵m、n均是正整數，
∴m=9，n=5或m=18，n=1．
當m=9，n=5的利潤為：324-（9×15+5×35）=14（元）；
當m=18，n=1的利潤為：324-（18×15+1×35）=19（元）．
綜上所述，商家可獲得的最小利潤是14元，最大利潤各是49元．

點評：本題考查了根據利潤=甲種商品的利潤+乙種商品的利潤求一次函數的解析式的運用，一元一次不等式的運用，解答本題時求出一次函數的解析式，進行分類討論是關鍵．