已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.連接BD，AE⊥BD，垂足為E.
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）求線段AE的長.
（1）證明見解析；（2）15.
解析試題分析：（1）由等腰三角形的性質可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可證△ABE∽△DBC；（2）由等腰三角形的性質可知，BD=2BE，根據△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE.
試題解析：（1）證明：∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB.
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC. ∴∠ABD=∠DBC.
∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°。∴△ABE∽△DBC.
（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE="DE." ∴BD=2BE.
由△ABE∽△DBC，得
.
∵AB=AD=25，BC=32，∴
，解得BE=20.
∴
.
考點：1.直角梯形的性質；2.等腰三角形的性質；3.平行的性質；4.相似三角形的判定和性質；5.勾股定理.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：初中數學 來源： 題型：解答題
閱讀理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．解決問題：
（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點P從A出發，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止，點Q從A與P同時出發，沿邊AD勻速運動到D終止，設點P運動的時間為t（s）．△APQ的面積S（cm2）與t（s）之間函數關系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．
（1）求點Q運動的速度；
（2）求圖2中線段FG的函數關系式；
（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．
（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示．某校計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進行生態環境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個頂點H、G分別在邊AB、AC上．現計劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．
（1）當FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？
（2）當矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．
（1）當點P在線段AB上時，求證：△AQP∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如圖(1)，∆ABC為等邊三角形，AB=6，在直角三角板DEF中∠F=90°，∠FDE=60°，點D在邊BC上運動，邊DF始終經過點A，DE交AC于點G.
(1)求證:①∠BAD=∠CDG
②∆ABD∽∆DCG
(2)設BD=x,若CG=
，求x的值；
(3)如圖2，當D運動到BC中點時，點P為線段AD上一動點，連接CP，將線段CP繞著點C逆時針旋轉60°得到CP' ，連接BP'，DP'，
①求∠CBP'的度數；②求DP'的最小值.
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