Question

如圖所示，已知等邊△ABC和點P，設P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h． 　　若點P在一邊BC上，此時h3＝0，則可得結論：h1＋h2＋h3＝h(如圖(1))． (1) 請直接應用上述信息解決下列問題： 當點P在△ABC內部(如圖(2))，點P在△ABC外部(如圖(3))這兩種情況時上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣關系？請寫出你的猜想，不用證明． (2) 若不應用上述信息，請探究其他的方法來證明你猜想的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	當點P在△ABC內部時，結論h1＋h2＋h3＝h仍成立． 　　如圖(2)，過P作NQ∥BC，分別交AB，AC，AM于N，Q，K． 　　依題意有h1＋h2＝AK，KM＝PF＝h3，所以h1＋h2＋h3＝AK＋KM＝h． 　　當點P在△ABC外部時，結論h1＋h2＋h3＝h不成立，它們的關系是h1＋h2－h3＝h．
(2)	如圖(3)，連接PA，PB，PC，則 　　S△ABC＝S△ABP＋S△APC－S△BPC，即BC·h＝AB·h1＋AC·h2－BC·h3． 　　因為AB＝AC＝BC，所以h1＋h2－h3＝h．