Question

（2013•瀘州）如圖，點P₁（x₁，y₁），點P₂（x₂，y₂），…，點P_n（x_n，y_n）在函數y=

1

x

（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x軸上（n是大于或等于2的正整數），則點P₃的坐標是

（

3

+

2

，

3

-

2

）

；點P_n的坐標是

（

n

+

n-1

，

n

-

n-1

）

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：過點P₁作P₁E⊥x軸于點E，過點P₂作P₂F⊥x軸于點F，過點P₃作P₃G⊥x軸于點G，根據△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃都是等腰直角三角形，可求出P₁，P₂，P₃的坐標，從而總結出一般規律得出點P_n的坐標．

解答：解：過點P₁作P₁E⊥x軸于點E，過點P₂作P₂F⊥x軸于點F，過點P₃作P₃G⊥x軸于點G，
∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，
∴P₁E=OE=A₁E=

1

2

OA₁，
設點P₁的坐標為（a，a），（a＞0），
將點P₁（a，a）代入y=

1

x

，可得a=1，
故點P₁的坐標為（1，1），
則OA₁=2a，
設點P₂的坐標為（b+2，b），將點P₂（b+2，b）代入y=

1

x

，可得b=

2

-1，
故點P₂的坐標為（

2

+1，

2

-1），
則A₁F=A₂F=

2

-1，OA₂=OA₁+A₁A₂=2

2

，
設點P₃的坐標為（c+2

2

，c），將點P₃（c+2

2

，c）代入y=

1

x

，可得c=

3

-

2

，
故點P₃的坐標為（

3

+

2

，

3

-

2

），
綜上可得：P₁的坐標為（1，1），P₂的坐標為（

2

+1，

2

-1），P₃的坐標為（

3

+

2

，

3

-

2

），
總結規律可得：P_n坐標為：（

n

+

n-1

，

n

-

n-1

）．
故答案為：（

3

+

2

，

3

-

2

）、（

n

+

n-1

，

n

-

n-1

）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合，涉及了點的坐標的規律變化，解答本題的關鍵是根據等腰三角形的性質結合反比例函數解析式求出P₁，P₂，P₃的坐標，從而總結出一般規律，難度較大．