Question

（2012•泰寧縣質檢）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，弦DC延長線上有一點P，∠PAC=∠PDA．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AD=6，∠ACD=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據AB是直徑得出∠1+∠2=90°，根據∠1=∠3和∠2=∠PAC求出∠BAP=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出∠B=∠ACD=60°，求出∠DAB=30°，根據勾股定理求出BD、AB，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=∠3，∠2=∠PAC，
∴∠3+∠PAC=∠1+∠2，
∴∠BAP=∠3+∠PAC=90°，
又∵OA是⊙O的半徑，
∴PA是⊙O的切線．

（2）解：∵∠B=∠ACD=60°，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=6，
設BD=x，AB=2x，
由AD²+BD²=AB²得：x²+6²=（2x）²，
解得x=2

3

，
∴⊙O的半徑為2

3

．

點評：本題考查了切線的判定，勾股定理，圓周角定理，三角形的內角和定理等知識點，主要考查學生綜合運用行政進行推理和計算的能力，用了方程思想．