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如圖（1），把邊長為1的等邊三角形每邊三等分，經其向外長出一個邊長為原來的三分之一的小等邊三角形得到圖（2），稱為一次“生長”．在得到的多邊形上類似“生長”，一共生長n次，得到的多邊形周長是
 
．
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分析：此題注意結合圖形計算幾個具體數值，從而發現規律進行推廣．
解答：解：觀察圖形發現：第一個圖形的周長是3，經過第一次生長的圖形的周長是3+3×
1
3
=3×
4
3
．經過第二次生長的圖形的周長是3×
4
3
+3×4×
1
3
×
1
3
=3×(
4
3
)2．以此類推，則經過第n次生長的第n個圖形的周長是3×(
4
3
)n=
4n
3n-1
．
點評：此題考查了平面圖形，主要培養學生的觀察能力和空間想象能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

27、閱讀：我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為整數的正n（n＞3）邊形的邊按照如圖1的方式連續轉動，當頂點P回到正n邊形的內部時，我們把這種狀態稱為它的“點回歸”；當△PQR回到原來的位置時，我們把這種狀態稱為它的“三角形回歸”．
例如：如圖2，

邊長為1的等邊三角形PQR的頂點P在邊長為1的正方形ABCD內，頂點Q與點A重合，頂點R與點B重合，△PQR沿著正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB…連續轉動，當△PQR連續轉動3次時，頂點P回到正方形ABCD內部，第一次出現P的“點回歸”；當△PQR連續轉動4次時△PQR回到原來的位置，出現第一次△PQR的“三角形回歸”．
操作：如圖3，

如果我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正五邊形ABCDE的邊連續轉動，則連續轉動的次數
k=
3
時，第一次出現P的“點回歸”；連續轉動的次數k=
5
時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”．
猜想：
我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正n（n＞3）邊形的邊連續轉動，
（1）連續轉動的次數k=
3
時，第一次出現P的“點回歸”；
（2）連續轉動的次數k=
n
時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”；
（3）第一次同時出現P的“點回歸”與△PQR的“三角形回歸”時，寫出連續轉動的次數k與正多邊形的邊數n之間的關系．

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科目：初中數學 來源： 題型：

    如圖所示，若把邊長為1的正方形ABCD的四個角（陰影部分）剪掉，得一四邊形A1B1C1D1，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原正方形面

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科目：初中數學 來源：期末題 題型：證明題

如圖所示，若把邊長為1的正方形ABCD的四個角（陰影部分）剪掉，得一四邊形A1B1C1D1，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原正方形面積的，請說明理由（寫出證明及計算過程）。

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科目：初中數學 來源：2006-2007學年江蘇省南京市29中九年級（上）期末數學試卷（解析版） 題型：解答題

閱讀：我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為整數的正n（n＞3）邊形的邊按照如圖1的方式連續轉動，當頂點P回到正n邊形的內部時，我們把這種狀態稱為它的“點回歸”；當△PQR回到原來的位置時，我們把這種狀態稱為它的“三角形回歸”．
例如：如圖2，

邊長為1的等邊三角形PQR的頂點P在邊長為1的正方形ABCD內，頂點Q與點A重合，頂點R與點B重合，△PQR沿著正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB…連續轉動，當△PQR連續轉動3次時，頂點P回到正方形ABCD內部，第一次出現P的“點回歸”；當△PQR連續轉動4次時△PQR回到原來的位置，出現第一次△PQR的“三角形回歸”．
操作：如圖3，

如果我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正五邊形ABCDE的邊連續轉動，則連續轉動的次數
k=______時，第一次出現P的“點回歸”；連續轉動的次數k=______時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”．
猜想：
我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正n（n＞3）邊形的邊連續轉動，
（1）連續轉動的次數k=______時，第一次出現P的“點回歸”；
（2）連續轉動的次數k=______時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”；
（3）第一次同時出現P的“點回歸”與△PQR的“三角形回歸”時，寫出連續轉動的次數k與正多邊形的邊數n之間的關系．

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