Question

（2012•達州）【問題背景】
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數關系式為：s=-x2+

1

2

x(x＞0），利用函數的圖象或通過配方均可求得該函數的最大值．
【提出新問題】
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
【分析問題】
若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為：y=2(x+

1

x

)（x＞0），問題就轉化為研究該函數的最大（小）值了．
【解決問題】
借鑒我們已有的研究函數的經驗，探索函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值．
（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）的圖象：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

（2）觀察猜想：觀察該函數的圖象，猜想當x=

1

時，函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）有最

小

值（填“大”或“小”），是

4

．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數s=-x2+

1

2

x(x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值，以證明你的猜想．〔提示：當x＞0時，x=(

x

)2〕

Answer 1

分析：（1）分別把表中x的值代入所得函數關系式求出y的對應值填入表中，并畫出函數圖象即可；
（2）根據（1）中函數圖象的頂點坐標直接得出結論即可；
（3）利用配方法把原式化為平方的形式，再求出其最值即可．

解答：解：（1）

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	8 1 2	6 2 3	5	4	5	6 2 3	8 1 2	…

（2）由函數圖象可知，其頂點坐標為（1，4），故當x=1時函數有最小值，最小值為4，
故答案為：1、小、4；

（3）證明：
y=2[（

x

）²+

1

( x )2

]
=2[（

x

）²-2+

1

( x )2

+2]
=2（

x

-

1

x

）²+4
當

x

-

1

x

=0時，y的最小值是4，即x=1時，y的最小值是4．

點評：本題考查的是二次函數的最值及配方法的應用，能利用數形結合求解是解答此題的關鍵．