Question

已知拋物線的頂點A（2，0），與y軸的交點為B（0，－1）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸右側的拋物線上找出一點C，使以BC為直徑的圓經過拋物線的頂點A．并求出點C的坐標以及此時圓的圓心P點的坐標．
（3）在（2）的基礎上，設直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點N，當t為何值時，△BCN的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

（1）（2）(5, )（3）當t=5時，有最大值，最大值是

解：（1）∵拋物線的頂點是A（2，0），∴設拋物線的解析式為。
由拋物線過B(0,－1) 得，∴。
∴拋物線的解析式為，即。
（2）設C的坐標為(x，y)，
∵A在以BC為直徑的圓上，∴∠BAC=90⁰。
過點C作CD⊥x軸于D，連接AB、AC，

∵∠BAO＋∠DAC=90⁰, ∠DAC＋∠DCA=90⁰，
∴∠BAO =∠DCA。
∴△AOB∽△CDA。∴。∴OB·CD=OA·AD，即1·。∴。
∵點C在第四象限，∴。
由解得：。
∵點C在對稱軸右側的拋物線上，∴點C的坐標為 (10,－16)。
∵P為圓心，∴P為BC中點。
取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線。
∴PH=(OB+CD)=。
∵D(10，0)，∴H(5，0)。∴點P坐標為(5, )。  
（3）設點N的坐標為，直線x=t（0<t<10）與直線BC交于點M，
∵，
∴。
設直線BC的解析式為，

∵直線BC經過B(0,－1)、C (10,－16)，
∴，解得：。
∴直線BC的解析式為。
∴點M的坐標為.。
∴MN=，
∴。
∴當t=5時，有最大值，最大值是。
（1）已知拋物線的頂點坐標，可直接設拋物線的解析式為頂點式進行求解。
（2）設C點坐標為（x,y）,由題意可知∠BAC=90⁰.過點C作CD⊥x軸于點D，連接AB，AC，易證△AOB∽△CDA，根據對應線段成比例得出x，y的關系式，再根據點C在拋物線上，聯立兩個關系式組成方程組，求出x，y的值，再根據點C所在的象限確定點C的坐標。P為BC的中點，取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線，可得OH=OD=5，PH=(OB+CD)= ，從而求出點P的坐標。
（3）根據得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M，N兩點的橫坐標相同，所以MN就等于點N的縱坐標減去點M的縱坐標，從而形成關于MN長的二次函數解析式，利用二次函數的最值求解。