Question

如圖，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分別以OB、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系．F是BC邊上的點，過F點的反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象與AC邊交于點E．若將△CEF沿EF翻折后，點C恰好落在OB上的點M處，求點F的坐標．

Answer 1

分析：過點E作ED⊥OB于點D，根據折疊的性質得∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=DF，易證Rt△MEM∽Rt△BMF；而EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，得到EM=4-

k

3

，MF=3-

k

4

，即可得

EM

MF

的比值；故可得出EM：MB=ED：MF=4：3，而ED=3，從而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到關于k的方程，解方程求出k的值即可得到F點的坐標．

解答：解：∵將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上的M點處，
∴∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=MF，
∴∠MME+∠FMB=90°，
而EM⊥OB，
∴∠MME+∠MEM=90°，
∴∠MEM=∠FMB，
∴Rt△MEM∽Rt△BMF；
又∵EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，
∴EM=4-

k

3

，MF=3-

k

4

，
∴

EM

MF

=

4- k 3

3- k 4

=

4

3

；
∴ED：MB=EM：MF=4：3，而ED=3，
∴MB=

9

4

，
在Rt△DBF中，MF²=MB²+MF²，即（3-

k

4

）²=（

9

4

）²+（

k

4

）²，
解得k=

21

8

，
∴反比例函數解析式為y=

21

8x

，
把x=4代入得y=

21

32

，
∴F點的坐標為（4，

21

32

）．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數的性質、反比例函數圖象上點的坐標特點，折疊的性質、勾股定理以及三角形相似的判定與性質等知識，難度適中．