Question

數學課上，張老師出示圖1和下面的條件：如圖1，兩個等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，DE=2，AB=1．將直線EB繞點E逆時針旋轉45°，交直線AD于點M．將圖1中的三角板ABC沿直線l向右平移，設C、E兩點間的距離為k．
解答問題：
（1）①當點C與點F重合時，如圖2所示，可得的值為       ；
②在平移過程中，的值為           （用含k的代數式表示）；
（2）將圖2中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉，原題中的其他條件保持不變．當點A落在線段DF上時，如圖3所示，請補全圖形，計算的值；
（3）將圖1中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉α度，0＜α≤90，原題中的其他條件保持不變．計算 的值（用含k的代數式表示）．

Answer 1

解析試題分析：（1）①根據題意可得EM垂直平分DF，直線AF∥EM，從而轉化為，繼而得出結論；②仿照①的思路進行求解即可；
（2）先補全圖形，連接AE，分別求出AM及DM的值，然后可確定比值．
（3）先畫出圖形，然后證明△ABG≌△CBE，繼而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性質即可得出答案．
（1）如圖，

∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，
∴；
②如圖

由①可得；
（2）連接AE，

∵△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，DE=2，AB=1，
∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°
∴DF=2，AC=，∠EFB=90°，
∴DF=2AC，AD=，
∴點A為CD的中點，
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=，
∵∠BEM=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，
∴∠1=∠3，
∴△AEM∽△FEB，
∴，
∴AM=，
∴DM=AD-AM=?＝，
∴．
（3）過B作BE的垂線交直線EM于點G，連接AG、BG，
，
∴∠EBG=90°，
∵∠BEM=45°，
∴∠EGB=∠BEM=45°，
∴BE=BG，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=EC=k，∠3=∠4，
∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，
∴∠6=∠5，
∴AG∥DE，
∴△AGM∽△DEM，
∴
考點: 相似形綜合題．