Question

某水果店銷售某中水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價y₁（元）與銷售時間第x月之間存在如圖1（一條線段）的變化趨勢，每千克成本y₂（元）與銷售時間第x月滿足函數關系式y₂=mx²﹣8mx+n，其變化趨勢如圖2．

（1）求y₂的解析式；
（2）第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

(1) y₂=x²﹣x+（1≤x≤12）；(2) 第3月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大，最大利潤是元/千克．

解析試題分析：（1）把函數圖象經過的點（3，6），（7，7）代入函數解析式，解方程組求出m、n的值，即可得解；
（2）根據圖1求出每千克的售價y₁與x的函數關系式，然后根據利潤=售價﹣成本得到利潤與x的函數關系式，然后整理成頂點式形式，再根據二次函數的最值問題解答即可．
試題解析：（1）由圖可知，y₂=mx²﹣8mx+n經過點（3，6），（7，7），
∴，
解得．
∴y₂=x²﹣x+（1≤x≤12）；
（2）設y₁=kx+b（k≠0），
由圖可知，函數圖象經過點（4，11），（8，10），
則，
解得，
所以，y₁=﹣x+12，
所以，每千克所獲得利潤=（﹣x+12）﹣（x²﹣x+）
=﹣x+12﹣x²+x﹣
=﹣x²+x+
=﹣（x²﹣6x+9）++
=﹣（x﹣3）²+，
∵﹣＜0，
∴當x=3時，所獲得利潤最大，為元．
答：第3月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大，最大利潤是元/千克．
【考點】二次函數的應用．