Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6）．動點Q從點O、動點P從點A同時出發，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連接CD、QC．

（1）求當t為何值時，點Q與點D重合？
（2）設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數關系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

（1）  （2）15  （3）0＜t≤或＜t≤5

解析解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB==10，
∴cos∠BAO=，sin∠BAO=．
∵AC為⊙P的直徑，
∴△ACD為直角三角形．
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．
當點Q與點D重合時，OQ+AD=OA，
即：t+t=8，
解得：t=．
∴t=（秒）時，點Q與點D重合．
（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×t．
①當0＜t≤時，
DQ=OA-OQ-AD=8-t-t=8-t．
∴S=DQ•CD=（8-t）•t=-t²+t．
∵-=，0＜＜，
∴當t=時，S有最大值為；
②當＜t≤5時，
DQ=OQ+AD-OA=t+t-8=t-8．
∴S=DQ•CD=（t-8）•t=t²-t．
∵-=，＜，所以S隨t的增大而增大，
∴當t=5時，S有最大值為15＞．
綜上所述，S的最大值為15．
（3）當CQ與⊙P相切時，有CQ⊥AB，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴，，
解得t=．
所以，⊙P與線段QC只有一個交點，t的取值范圍為0＜t≤或＜t≤5．