Question

拋物線y=﹣x²平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．

（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結論；
（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵將拋物線y=﹣x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），
∴平移后的拋物線的表達式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x²+2x+3，即y=﹣x²+2x+3。
∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）。
（2）∠ACB與∠ABD相等。理由如下：
如圖，∵y=﹣x²+2x+3，

∴當x=0時，y=3，即C點坐標為（0，3）。
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°。
在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，
∴BC²+CD²=BD²。∴∠BCD=90°。
∴。
∵在△AOC中，∠AOC=90°，∴tan∠ACO=。
∴tan∠ACO=tan∠CBD。∴∠ACO=∠CBD。
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD。
（3）∵點P在平移后的拋物線的對稱軸上，而y=﹣x²+2x+3的對稱軸為x=1，
∴可設P點的坐標為（1，n）。
∵△ABC是銳角三角形，∴當△CDP與△ABC相似時，△CDP也是銳角三角形。
∴n＜4，即點P只能在點D的下方。
又∵∠CDP=∠ABC=45°，∴D與B是對應點，分兩種情況：

①如果△CDP∽△ABC，那么，
即。解得n=，
∴P點的坐標為（1，）。
②如果△CDP∽△CBA，那么，
即，解得n=。
∴P點的坐標為（1，）。
綜上可知P點的坐標為（1，）或（1，）。

試題分析：（1）根據平移不改變二次項系數a的值，且平移后的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），可知平移后拋物線的表達式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x²+2x+3，再運用配方法化為頂點式，即可求出頂點D的坐標。
（2）先由B、C兩點的坐標，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根據勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，則由正切函數的定義求出tan∠CBD=，在△AOC中，由正切函數的定義也求出tan∠ACO=，得出∠ACO=∠CBD，則∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD。
（3）設P點的坐標為（1，n），先由相似三角形的形狀相同，得出△CDP是銳角三角形，則n＜4，再根據∠CDP=∠ABC=45°，得到D與B是對應點，所以分兩種情況進行討論：
①△CDP∽△ABC；
②△CDP∽△CBA。
根據相似三角形對應邊的比相等列出關于n的方程，解方程即可。