Question

（2012•綿陽）如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G．
（1）求證：AF⊥BE；
（2）試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數量關系；
（3）若GO：CF=4：5，試確定E點的位置．

Answer 1

分析：（1）由DE=CF及正方形的性質，得出AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，證明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，而∠ABE+∠AEB=90°，利用互余關系得出∠AOE=90°即可；
（2）由（1）的結論可證△ABO≌△DAG，得BO=AG=AO+OG；
（3）過E點作EH⊥DG，垂足為H，則EH=OG，由DE=CF，GO：CF=4：5，得EH：ED=4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，則OE∥DG，∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，從而得出AE：AD．

解答：（1）證明：∵ABCD為正方形，且DE=CF，
∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AOE=90°，即AF⊥BE；
（2）解：BO=AO+OG．
理由：由（1）的結論可知，
∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，
則△ABO≌△DAG，
所以，BO=AG=AO+OG；
（3）解：過E點作EH⊥DG，垂足為H，
由矩形的性質，得EH=OG，
∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，
∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，
∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，
∴AB：BE=EH：ED=4：5，
在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，
故AE：AD=3：4，
即AE=

3

4

AD．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質．關鍵是利用正方形的性質證明全等三角形，相似三角形，利用線段，角的關系解題．