Question

（1）探索：解下列方程，將得到的兩根x₁，x₂和x₁+x₂，x₁•x₂的值填入下面的表格．

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
x2+3x-4=0
2x2+x-1=0
3x2-5x+2=0

（2）猜想：x₁+x₂，x₁•x₂的值與一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）（x₁，x₂是其兩個根）的各項系數a，b，c之間有何關系？
（3）利用一元二次方程的求根公式證明（2）中的猜想．

Answer 1

分析：（1）對方程分解因式求解：
第一個：（x+4）（x-1）=0，x₁=-4，x₂=1；
第二個：（2x-1）（x+1）=0，x₁=

1

2

，x₂=-1；
第三個：（3x-2）（x-1）=0，x₁=

2

3

，x₂=1．并分別計算出兩根之積，兩根之和填入表格中．
（2）（3）首先求出方程的兩個實根，求和，求積，即可證明根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．

解答：解：（1）

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
x2+3x-4=0	-4	1	-3	-4
2x2+x-1=0	1 2	-1	- 1 2	- 1 2
3x2-5x+2=0	2 3	1	5 3	2 3

（2）根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．

（3）對于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常數），當△≥0時，利用求根公式，得
x₁=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

，x₂=

-b

2a

-

b2-4ac

2a

．
x₁+x₂=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

+

-b

2a

-

b2-4ac

2a

=-

b

a

，
x₁x₂=（

-b

2a

+

b2-4ac

2a

）•（

-b

2a

-

b2-4ac

2a

）=（

-b

2a

）²-（

b2-4ac

2a

）²=

c

a

．
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

是正確的．

點評：本題是找規律題，首先通過計算求出各個方程的根，觀察后得出猜測，再用求根公式進行證明．