Question

探究與思考：
（1）如圖①，∠BPC是△ABP的一個外角，則有結論：∠BPC=∠A+∠B成立．若點P沿著線段PB向點B運動（不與點B重合），連接PC形成圖形②，我們稱之為“飛鏢”圖形，那么請你猜想“飛鏢”圖形中∠BPC與∠A、∠B、∠C之間存在的數量關系？并證明你的猜想；
（2）利用（1）的結論，請你求出五角星（如圖③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，說明你的理由；
（3）若五角星中的點B向右運動，形成如圖④⑤形狀，（2）中的結論還成立嗎？請從圖④⑤中任選一個圖形說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AP并延長至F，將“飛鏢”圖形轉化為兩個三角形，再根據三角形的外角的性質進行解答；
（2）兩次運用三角形外角的性質得到∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（3）根據三角形外角的性質可知，在△ACG中，∠AGE=∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE=∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E=180°．

解答：解：（1）如圖②，∠BPC=∠A+∠B+∠C，
連接AP并延長至F，
則有∠B+∠BAP=∠BPF，∠C+∠CAP=∠CPF，
所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP=∠BPF+∠CPF=∠BPC，
即∠B+∠C+∠A=∠BPC，

（2）如圖③，∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，
則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°．

（3）如圖④，在△ACG中，∠AGE=∠A+∠C，
在△BDF中，∠DFE=∠DBF+∠D，
所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E=∠AGE+∠DFE+∠E=180°．

點評：本題考查了三角形外角的性質，從圖中找到相關三角形及其外角是解題的關鍵．