Question

如圖，已知半圓O的直徑AB=10，⊙O₁與半圓O內切干點C，與AB相切干點D，
（1）求證：CD平分∠ACB；
（2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面積S_△CDB；
（3）設AC：CB=x（x＞0），⊙O₁的半徑為y，請用含x的代數式表示y．

Answer 1

分析：（1）過點C作兩圓外公切線MN，由角之間的等量關系，證明∠ACD=∠BCD，
（2）在Rt△ABC中，解得AC、BC的長，求出三角形面積，
（3）連接OO₁并延長，則必過切點C，連O₁D，求出AC、BC，由CE∥O₁D，列出x、y的關系式．

解答：（1）證明：過點C作兩圓外公切線MN；
∵AB與⊙O₁相切于點D，
∴∠MCD=∠ADC，∠MCA=∠ABC．
∵∠MCD=∠MCA+∠ACD，
∠ADC=∠ABC+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB．

（2）解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，AC²+CB²=AB²，即AC²+CB²=100
已知AC：CB=1：3，
解得AC=

10

，CB=3

10

；
S_△ACB=

1

2

AC•CB=

1

2

•

10

•3

10

=15

S△CDB

S△CDA

=3
∴S_△CDB=

45

4

．

（3）解：已知AC：CB=x，AC²+CB²=100解得
AC=

10x

x2+1

，CB=

10

x2+1

，
過點C作CE⊥AB交AB于點E，S_△ABC=

1

2

AB•CE，
解得CE=

10x

x2+1

（x＞0）．
連接OO₁并延長，則必過切點C，連O₁D，則O₁D⊥AB，
∴CE∥O₁D，
∴

CE

y

=

5

5-y

．
y=

10x

(x+1)2

（x＞0）．

點評：本題主要考查兩圓相切的性質，還考查的圓周角定理等知識點．