Question

（2012•天津）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．

（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=30°時，求點P的坐標；
（Ⅱ）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（Ⅲ）首先過點P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與m=

1

6

t2-

11

6

t+6，即可求得t的值．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，∠OBP=90°，OB=6，
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
∵OP²=OB²+BP²，
即（2t）²=6²+t²，
解得：t₁=2

3

，t₂=-2

3

（舍去）．
∴點P的坐標為（2

3

，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ．
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴

OB

PC

=

BP

CQ

，
由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11-t，CQ=6-m．
∴

6

11-t

=

t

6-m

．
∴m=

1

6

t2-

11

6

t+6（0＜t＜11）．

（Ⅲ）過點P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴

PE

AC′

=

PC′

C′Q

，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，
∴AC′=

C′Q2-AQ2

=

36-12m

，
∴

6

36-12m

=

11-t

6-m

，
∴

36

12(3-m)

=(

11-t

6-m

)2，
∴3（6-m）²=（3-m）（11-t）²，
∵m=

1

6

t2-

11

6

t+6，
∴3（-

1

6

t²+

11

6

t）²=（3-

1

6

t²+

11

6

t-6）（11-t）²，
∴

1

12

t²（11-t）²=（-

1

6

t²+

11

6

t-3）（11-t）²，
∴

1

12

t²=-

1

6

t²+

11

6

t-3，
∴3t²-22t+36=0，
解得：t₁=

11- 13

3

，t₂=

11+ 13

3

，
點P的坐標為（

11- 13

3

，6）或（

11+ 13

3

，6）．

法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，
∴OC′=PC′=PC=11-t，
過點P作PE⊥OA于點E，
則PE=BO=6，OE=BP=t，
∴EC′=11-2t，
在Rt△PEC′中，PE²+EC′²=PC′²，
即（11-t）²=6²+（11-2t）²，
解得：t₁=

11- 13

3

，t₂=

11+ 13

3

．
點P的坐標為（

11- 13

3

，6）或（

11+ 13

3

，6）．

點評：此題考查了折疊的性質、矩形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想與方程思想的應用．