Question

閱讀下列材料：如圖，⊙O1和⊙O2外切于點C，AB是⊙O1和⊙O2的外公切線，A、B為切點，求證：AC⊥BC．

　　證實：過點C作⊙O1和⊙O2的內公切線交AB于D．

　　∵　DA、DC是⊙O1的切線，∴　DA＝DC．

　　∴　∠DAC＝∠DCA．同理∠DCB＝∠DBC．

　　又∵　∠DAC＋∠DCA＋∠DCB＋∠DBC＝180°，∴　∠DCA＋∠DCB＝90°．

　　即AC⊥BC．

　　根據上述材料，解答下列問題：

　　(1)在以上的證實過程中使用了哪些定理？請寫出兩個定理的名稱或內容；

　　(2)以AB所在直線為x軸，過點C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標系(如圖11)．已知A、B兩點的坐標為(-4，0)、(1，0)，求經過A、B、C三點的拋物線y＝ax2＋bx＋c的函數解析式；

　　(3)根據(2)中所確定的拋物線，試判定這條拋物線的頂點是否落在兩圓的連心O1O2上，并說明理由．

Answer 1

解：(1)切線長定理，等腰三角形的性質定理，三角形的內角和等于180°等

　　(2)由題意OA＝4，OB＝1，AC⊥BC，Rt△ACB中，∵　AC⊥BC，CO⊥AB，∴　△BOC∽△COA．

　　∴　 ，OC2＝OA?OB，∴　OC2＝4，OC＝2．

　　∴　點C(0，-2)設y＝a(x＋4)(x-1)，代入點C(0，-2)有：-2＝-4a．

　　∴　a＝ ．∴　y＝ (x＋4)(x-1)．即y＝ x2＋ x-2．

　　(3)解法一：設⊙O1的半徑為R，⊙O2的半徑為r．

　　連O1A、O2B、O1O2，過O2作O2H⊥O1A于H．

　　在Rt△O1O2H中，O1H＝R-r，O1O2＝R＋r，HO2＝AB＝5，在梯形ABO2O1中， ．

　　∴　

　　∴　R＝5，r＝ ．

　　∴　梯形AO1O2B的中位線長為： (R＋r)＝ (5＋ )＝ ．

　　∵　由拋物線的對稱性知，梯形中位線在對稱軸上．

　　∴　O1O2的中點坐標是(- ，- )．

　　∵　y＝ (x＋ )2- ，∴　頂點P(- ，- )．

　　∴　拋物線的頂點在O1O2的連心線上．

　　解法二：(接解法一)由R＝5，A(-4，0)，C(0，-2)，

　　∴　點O1＝(-4，-5)．設過點O1、O2的直線為y＝kx＋b，又點C在連心線O1、O2上，

　　∴　 ∴　

　　∴　y＝ x-2．

　　當x＝- 時，y＝ ×(- )-2＝- ．

　　∴　頂點(- ，- )在連心線O1O2上．