Question

如圖，拋物線y=﹣x²+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上的一個動點且在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點E．

（1）求點A、B、C的坐標和直線BC的解析式；
（2）求△ODE面積的最大值及相應的點E的坐標；
（3）是否存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）。
y=﹣2x+4。
（2）△ODE的面積有最大值1。
點E的坐標為（1，2）。
（3）存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似。P₁，P₂理由見解析。

試題分析：（1）在拋物線解析式y=﹣x²+4中，令y=0，解方程可求得點A、點B的坐標；令x=0，可求得頂點C的坐標．已知點B、C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式。
（2）求出△ODE面積的表達式，利用二次函數的性質求出最大值，并確定點E的坐標。
（3）本問為存在型問題．因為△OAC與△OPD都是直角三角形，需要分類討論：
①當△PDO∽△COA時，由得PD=2OD，列方程求出點P的坐標；
②當△PDO∽△AOC時，由得OD=2PD，列方程求出點P的坐標。
解：（1）在y=﹣x²+4中，當y=0時，即﹣x²+4=0，解得x=±2；
當x=0時，即y=0+4，解得y=4。
∴點A、B、C的坐標分別為A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）。
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得。
∴直線BC的解析式為y=﹣2x+4。
（2）∵點E在直線BC上，∴設點E的坐標為（x，﹣2x+4）。
∴△ODE的面積S可表示為：。
∴當x=1時，△ODE的面積有最大值1。
此時，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴點E的坐標為（1，2）。
（3）存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似。理由如下：
設點P的坐標為（x，﹣x²+4），0＜x＜2．
因為△OAC與△OPD都是直角三角形，分兩種情況：
①當△PDO∽△COA時，，即，
解得（不符合題意，舍去）。
當時，。
∴此時，點P的坐標為。
②當△PDO∽△AOC時，，，
解得（不符合題意，舍去）。
當時，。
∴此時，點P的坐標為。
綜上所述，滿足條件的點P有兩個：P₁，P₂。