Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數圖象的頂點坐標為C（-4，），且在x軸上截得的線段AB的長為6.

（1）求二次函數的解析式；
（2）在y軸上確定一點M，使MA+MC的值最小，求出點M的坐標；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在點N，使得以N、A、B三點為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）(0，)；（3）（2，）或（-10，)

試題分析：（1）先由拋物線的頂點坐標得到拋物線的對稱軸，再根據拋物線在x軸上截得的線段AB的長為6，即可得到A、B兩點的坐標，從而求得結果；
（2）作點A關于軸的對稱點，可得（1，0），連接C交軸于一點即點M，此時MC+MA的值最小，設直線C的解析式為(k≠0)，根據待定系數法求得函數關系式，即可得到結果；
（3）由（1）可知，C(－4，)，設對稱軸交x軸于點D，分①AB=AN₁=6，②AB=BN₂，③N₃A=N₃B，三種情況討論即可.
（1）∵拋物線的頂點坐標為， 
∴拋物線的對稱軸為直線.
∵拋物線在x軸上截得的線段AB的長為6， 
∴A(-1，0)，B( -7，0)
設拋物線解析式為
∴
解得
∴二次函數的解析式為；
（2）作點A關于軸的對稱點，可得（1，0），連接C交軸于一點即點M，此時MC+MA的值最小

由作法可知，MA=M
∴MC+MA=MC+M=C
∴當點M在線段C上時，MA+MC取得最小值
∴線段C與軸的交點即為所求點M
設直線C的解析式為(k≠0)　
∴
解得
∴直線C的解析式為 
∴點M的坐標為(0，)；
（3）由（1）可知，C(－4，)，設對稱軸交x軸于點D

∴AD=3
∴在Rt△ADC中，
∴∠CAD=30^o
∵AC=BC
∴∠ABC=∠CAB=30^o
∴∠ACB=120°
①如果AB=AN₁=6，過N₁作EN₁⊥x軸于E
由△ABC∽△BAN₁得∠BAN₁=120^o
則∠EAN₁ = 60^o
∴N₁E=3，AE=3
∵A(-1，0)
∴OE=2
∵點N在x軸下方   
∴點N₂(2，)
②如果AB=BN₂，由對稱性可知N₂(-10，)
③如果N₃A=N₃B，那么點N必在線段AB的中垂線即拋物線的對稱軸上，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點N
經檢驗，點N₁(2，)與N₂(-10，)都在拋物線上
綜上所述，存在這樣的點N，使△NAB∽△ABC，點N的坐標為（2，）或（-10，).
點評：解答本題的關鍵是讀懂題意，正確畫出圖形，注意當明確了圖象的頂點時，二次函數關系式一半設成頂點式.