Question

某工廠生產一種合金薄板（其厚度忽略不計）這些薄板的形狀均為正方形，邊長（單位：cm）在5~50之間，每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：cm²）成正比例，每張薄板的出廠價（單位：元）由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與薄板的大小無關，是固定不變的，浮動價與薄板的邊長成正比例，在營銷過程中得到了表格中的數據，

薄板的邊長（cm）	20	30
出廠價（元/張）	50	70

⑴求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數關系式；
⑵已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得利潤是26元（利潤=出廠價－成本價）．
①求一張薄板的利潤與邊長這之間滿足的函數關系式．
②當邊長為多少時，出廠一張薄板獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

(1) y="2x+10" ; (2) P＝－x²＋2x＋10 ,邊長為25cm時，最大利潤為35元.

解析試題分析：（1）利用待定系數法求一次函數解析式即可得出答案；
（2）①首先假設一張薄板的利潤為p元，它的成本價為mx²元，由題意，得：p=y-mx²，進而得出m的值，求出函數解析式即可；
②利用二次函數的最值公式求出二次函數的最值即可．
試題解析：⑴設一張薄板的邊長為x cm，它的出廠價為y元，基礎價為n元，浮動價為kx元，
則y=kx+n
由表格中數據得   解得
∴y=2x+10
⑵①設一張薄板的利潤為P元，它的成本價為mx²元，由題意得P=ｙ－ｍｘ²＝2x+10－mx²
將x=40，P=26代入P=2x+10－mx²中，得26=2×40＋10－m×40² 解得m=
∴P＝－x²＋2x＋10  （3分）
②∵a＝－＜0 ∴當（在5~50之間）時，

即出廠一張邊長為25cm的薄板，所獲得的利潤最大，最大利潤為35元
考點: 二次函數的應用.