Question

（2012•鄂州）已知：如圖一，拋物線y=ax²+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=x-2經過A、C兩點，且AB=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D，同時動點P從點B出發，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；當點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒；設s=

ED+OP

ED•OP

，當t為何值時，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據直線AC的解析式確定點A、C的坐標，已知AB的長，進一步能得到點B的坐標；然后由待定系數法確定拋物線的解析式．
（2）根據所給的s表達式，要解答該題就必須知道ED、OP的長；BP、CE長易知，那么由OP=OB-BP求得OP長，由∠CED的三角函數值可得到ED的長，再代入s的表達式中可得到關于s、t的函數關系式，結合函數的性質即可得到s的最小值．
（3）首先求出BP、BD的長，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知的條件是公共角∠OBC，那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對應邊成比例，分兩種情況討論即可．

解答：解：（1）由直線：y=x-2知：A（2，0）、C（0，-2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）．
設拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x-4），代入C（0，-2），得：
a（0-2）（0-4）=-2，解得 a=-

1

4

∴拋物線的解析式：y=-

1

4

（x-2）（x-4）=-

1

4

x²+

3

2

x-2．

（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t；
而 OP=OB-BP=4-2t；
∴s=

ED+OP

ED•OP

=

2t+4-2t

2t•(4-2t)

=

1

-(t-1)2+1

（0＜t＜2），
∴當t=1時，s有最小值，且最小值為 1．

（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 BC=2

5

；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，則 CD=

5

t；
∴BD=BC-CD=2

5

-

5

t；
以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，則有兩種情況：
①

BP

BC

=

BD

AB

?

2t

2 5

=

2 5 - 5 t

2

，解得 t=

10

7

；
②

BP

AB

=

BD

BC

?

2t

2

=

2 5 - 5 t

2 5

，解得 t=

2

3

；
綜上，當t=

2

3

或

10

7

時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：該題主要考查了函數解析式的確定以及相似三角形的判定和性質等重點知識；（2）題得到的函數與平常所見的二次函數有所不同，但只要把握住分式以及二次函數的性質即可正確解出答案；（3）題中需要注意的是相似三角形的對應邊并沒有明確，需要進行分類討論．