Question

設正四面體的四個頂點是A，B，C，D各棱長均為1米，有一個小蟲從點A開始按以下規則前進：在每一頂點處用同樣的概率選擇通過這個頂點的三條棱之一，并一直爬到這條棱的盡頭，則它爬了5米之后恰好再次位于頂點A的概率是______（結果用分數表示）．

Answer 1

小蟲從點A出發，一共分第5步走，可以確定下來是小蟲最后一步必須回到A，那么第四步就不能是走回A．
所以，第三步成為關鍵，第三部分兩種情況，①回到A點，②不回A點．
在①情況下，小蟲第一步有3種選擇，由于第三步為了回到A，則第二步只能有2種選擇，
到第四步時，因為從A出發，又有3種選擇，所以，此時共有 3×2×1×3×1=18種可能．
在②情況下，第二步的走法又分為③回A點或者④不回A點的情況．
因此在③情況下，共有3×1×3×2×1=18種可能，在④情況下，共有3×2×2×2×1=24種可能．
所以，第五步回到A總共有18+18+24=60種可能，
而小蟲總共有3×3×3×3×3=243種選擇，概率為

60

243

=

20

81

，
故答案為

20

81

．