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設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證|AB|=
6
2
1+sin2θ
；
（Ⅲ）設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．
分析：（Ⅰ）由橢圓的性質求解．
（Ⅱ）將直線和橢圓方程聯立，用韋達定理，再用弦長公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=
6
2
1+sin2θ
+
6
2
1+cos2θ
=
18
2
2+
1
4
sin2θ
，再用三角函數求得最值．
解答：解：（Ⅰ）根據題意可得：
2a=6
2
c
a
=
2
2
b2=a2-c2
?
a=3
2
c=3
b=3

所求橢圓M的方程為
x2
18
+
y2
9
=1（4分）
（Ⅱ）當θ≠
π
2
，設直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F（3，0），
則直線AB的方程為y=k（x-3）
有
y=kx-3k
x2
18
+
y2
9
=1
?（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0
設點A（x1，y1），B（x2，y2）
有x1+x2=
12k2
1+2k2
，x1x2=
18(k2-1)
1+2k2

|AB|=
(1+k2)[(
12k2
1+2k2
)2-4×
18(k2-1)
1+2k2
]
=
6
2
(1+k2)
1+2k2
**（6分）
又因為k=tanθ=
sinθ
cosθ
代入**式得
|AB|=
6
2
cos2θ+sin2θ
=
6
2
1-sin2θ+2sin2θ
=
6
2
1+sin2θ
（8分）
當θ=
π
2
時，直線AB的方程為x=3，
此時|AB|=3
2
（10分）
而當θ=
π
2
時，|AB|=
6
2
1+sin2θ
=3
2

綜上所述所以|AB|=
6
2
1+sin2θ
（11分）
（Ⅲ）過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，
同理可得|CD|=
6
2
(1+k2)
2+k2
=
6
2
1+cos2θ
（12分）
有|AB|+|CD|=
6
2
1+sin2θ
+
6
2
1+cos2θ
=
18
2
2+
1
4
sin2θ

因為sin2θ∈[0，1]，
所以當且僅當sin2θ=1時，
|AB|+|CD|有最小值是8
2
（16分）
點評：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與橢圓中弦長公式的應用，滲透了函數求最值的問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設過右焦點F．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢M于A，B兩點，求證|AB|=
6
2
1+sin2θ
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，點A（a，0），B（0，-b），原點O到直線AB的距離為
2
3
3
．
（I）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點C為（-a，0），點P在橢圓M上（與A、C均不重合），點E在直線PC上，若直線PA的方程為y=kx-4，且
CP
•
BE
=0，試求直線BE的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）設橢圓M：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞
2
)的右焦點為F1，直線l：x=
a2
a2-2
與x軸交于點A，若
OF1
+2
AF1
=0（其中O為坐標原點）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求
PE
•
PF
的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右頂點和上頂點分別為A，B，直線AB與直線y=-x相交于點P，若點P在拋物線y2=-ax上，則橢圓M的離心率等于
3
2
3
2
．

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