Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F₁作傾斜角為θ的動直線l交橢圓于A，B兩點．當θ=

π

4

時，

AF1

=(2-

3

)

F1B

，且|AB|=3．
（1）求橢圓的離心率及橢圓的標準方程；
（2）求△ABF₂面積的最大值，并求出使面積達到最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意設出l的為方程x=y-c，聯立

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

得：（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

2b2c

a2+b2

①，y1y2=

-b4

a2+b2

②，又由

AF1

=(2-

3

)

F1B

得

y1

y2

=-(2-

3

)③，由①②③⇒

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4c2

a2+b2

=-2⇒2a²=3c²⇒e=

6

3

，結合|AB|=

2

|y1-y2|=

2

×

4b4c2+4b4(a2+b2)

a2+b2

=

4ab2

a2+b2

=a=3，可求得橢圓的方程；

（2）設直線l的方程為x=my-

6

，由

x=my- 6 x2 9 + y2 3 =1

，消去x得，(m2+3)y2-2

6

my-3=0，由韋達定理得：|y₁-y₂|=

6 m2+1

m2+3

，又S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

6

×

6 m2+1

m2+3

=

6 6

m2+1 + 2 m2+1

≤

6 6

2 2

=3

3

，（當且僅當

m2+1

=

2

m2+1

時取等號），從而可求得m，問題解決．

解答：解：（1）∵直線l的傾斜角θ=

π

4

，過點F₁（-c，0），故l的為方程為：x=y-c，
由

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

，消去x得，（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

2b2c

a2+b2

①，y1y2=

-b4

a2+b2

②，
又由

AF1

=(2-

3

)

F1B

得

y1

y2

=-(2-

3

)③，
由①②③得

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4c2

a2+b2

=-2，
∴a²+b²=2c²=2（a²-b²），
∴a²=3b²=3（a²-c²），
∴2a²=3c²，
∴e=

6

3

；
又|AB|=

2

|y1-y2|=

2

×

4b4c2+4b4(a2+b2)

a2+b2

=

4ab2

a2+b2

=

4a•( 1 3 a2)

a2+ 1 3 a2

=a=3，
∴b²=3，
∴橢圓標準方程為

x2

9

+

y2

3

=1．
（2）設直線l的方程為x=my-

6

，由

x=my- 6 x2 9 + y2 3 =1

，消去x得，(m2+3)y2-2

6

my-3=0，
|y₁-y₂|=

24m2+12(m2+3)

m2+3

=

6 m2+1

m2+3

，
S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

6

×

6 m2+1

m2+3

=

6 6

m2+1 + 2 m2+1

≤

6 6

2 2

=3

3

，（當且僅當

m2+1

=

2

m2+1

，即m=±1時取“=”），
∴m=±1時，使△ABF₂面積達到最大值，此時直線l的方程為y=±(x+

6

)．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，難點在于（1）中①②③的聯立求得

-4c2

a2+b2

=-2，著重考查方程思想，韋達定理的使用與弦長公式的應用，屬于難題．