Question

在平面直角坐標系中，已知雙曲線.

    （1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成

的三角形的面積；（4分）

    （2）設斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：

OP⊥OQ；（6分）

    （3）設橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OM⊥ON，

求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）定值為.

【解析】[解]（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：.

         過點A與漸近線平行的直線方程為，即.

         解方程組，得.                      ……2分

         所以所求三角形的面積1為.              ……4分

    （2）設直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，

         故，即.                                      ……6分

         由，得.

         設P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，則.

         又，所以

        

，故OP⊥OQ.        ……10分

    （3）當直線ON垂直于x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為.

      當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為.

         由，得，所以.

同理.                                       ……13分

         設O到直線MN的距離為d，因為，

         所以，即d=.

         綜上，O到直線MN的距離是定值.                         ……16分