Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）。

（Ⅰ）函數(shù)的圖象在點（）處的切線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，對于區(qū)間[1,2]內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，都有

成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為，所以，因此，

所以函數(shù)的圖象在點（）處的切線方程為，                ……1分

由得，

由，得.                                     ……3分

（Ⅱ）因為，

所以，

由題意知在上有解，

因為，設(shè)，因為，

則只要，解得，

所以b的取值范圍是.                                               ……6分

（Ⅲ）不妨設(shè)，

因為函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以，

函數(shù)圖象的對稱軸為，且。

（i）當時，函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以，

所以等價于

，

即，

等價于在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，

等價于在區(qū)間[1,2]上恒成立，

等價于在區(qū)間[1,2]上恒成立，

所以，又，

所以.                                                              ……8分

（ii）當時，函數(shù)在區(qū)間[1, b]上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)。

① 當時，

等價于，

等價于在區(qū)間[1,b]上是增函數(shù)，

等價于在區(qū)間[1,b]上恒成立，

等價于在區(qū)間[1,b]上恒成立，

所以，又，所以

②當時，

等價于，

等價于在區(qū)間[b,2]上是增函數(shù)，

等價于在區(qū)間[b,2]上恒成立，

等價于在區(qū)間[b,2]上恒成立，

所以，故，

③當時，

由圖像的對稱性知，

只要對于①②同時成立，

那么對于③，則存在，

使 =恒成立；

或存在，

使=恒成立，

因此，

綜上，b的取值范圍是.                                         ……12分

考點：本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程、求單調(diào)性以及解決恒成立問題，考查學生的運算求解能力和轉(zhuǎn)化能力和分類討論思想的應(yīng)用.

點評：導數(shù)是研究函數(shù)的一個有力的工具，研究函數(shù)時，不要忘記考查函數(shù)的定義域.另外恒成立問題一般轉(zhuǎn)化成求最值問題解決.