Question

（2012•臺州模擬）已知奇函數f（x）為定義在R上的可導函數，f（1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則f（x）＞0的解集為（　�。�

A．（-∞，-1）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由條件可得在（0，+∞）上，g（x）=

f(x)

x

為減函數．由g（-x）=g（x）可得函數g（x）為定義域上的偶函數，數形結合可得不等式等價于 x•g（x）＞0，等價于

x＞0 g(x)＞0

，或

x＜0 g(x)＜0

，由此求得不等式的解集．

解答：解：由題意可得f（-1）=-f（1）=0，設g（x）=

f(x)

x

，則g（x）的導數為g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

．
∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當x＞0時，函數g（x）=

f(x)

x

為減函數．
又∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴函數g（x）為定義域上的偶函數．
又∵g（1）=

f(1)

1

=0，
∴函數g（x）的圖象性質類似如圖：數形結合可得
不等式f（x）＞0等價于 x•g（x）＞0等價于

x＞0 g(x)＞0

，或

x＜0 g(x)＜0

，解得 0＜x＜1，或x＜-1，
故選 B．

點評：本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．