Question

在已知拋物線y＝x²上存在兩個不同的點M、N關于直線l：y＝－kx＋對稱，求k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：方法一：由題意知k≠0．

　　設M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)是曲線上關于直線對稱的兩點，

　　則MN的方程可設為y＝x＋b，

　　代入y＝x²，

　　得x²x－b＝0，且△＝＋4b＞0．①

　　又x₁＋x₂＝，中點x₀＝，y₀＝＋b，

　　∵(x₀，y₀)在直線l：y＝－kx＋上，

　　∴＋b＝－k·＋．

　　∴b＝4．②

　　②代入①，得＋16＞0．

　　∴＜16，即k²＞．

　　∴k＞或k＜．

　　方法二：設M(x₁，x₁²)、N(x₂，x₂²)關于直線l對稱，且MN⊥l．

　　∴，即x₁＋x₂＝．

　　又MN的中點在l上，

　　∴＝－k·＋＝－k·＋＝4．

　　∵中點必在拋物線開口內，

　　∴＞()²，即4＞()²．

　　∴k²＞，即k＞或k＜．

　　解析：曲線上存在兩點關于某條直線對稱，求參數(shù)的取值范圍．這類問題在橢圓、雙曲線中都曾出現(xiàn)過，一般說來，導出關于待定系數(shù)不等式的方法很多，如在橢圓中，可以利用弦中點(x₀，y₀)在橢圓內部，則＋＜1，得到與參數(shù)有關的不等式．但這類問題最普遍的還是利用△＞0．具體方法如下：設P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)是曲線C上關于直線y＝kx＋b對稱的兩點，則P、Q的方程為y＝x＋m．代入曲線C的方程，得到關于x(或y)的一元二次方程，其中P、Q點的橫坐標即為方程的根，故△＞0，從而求得k(或b)的范圍．