Question

（08年杭州市質檢一理）  (16分)

已知數列{b_n}滿足條件: 首項b₁ = 1, 前n項之和B_n = .

(1)     求數列{b_n}的通項公式 ;

(2) 設數列{an}的滿足條件：an＝ (1＋) a _n 1 ，且a₁ = 2 , 試比較a_n與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解析： (1) 當n >1時, b_n = B_n B_{n 1} = = 3n－2

   令n = 1得b1＝1, 

   ∴bn＝3n－2.                                                                                                                         5分 

（2）由an＝ (1＋) a _n 1 ，得  ∴an＝

由a₁ = 2 ,bn＝3n－2知，

    an＝(1＋)(1 + )…(1＋)2

＝(1＋1)(1＋)…(1＋)                                

又= = _,                                  5分

設c_n= ,

當n＝1時，有(1＋1) =  ＞

   當n＝2時，有an＝(1＋1)(1＋) =  = > = = c_n

假設n＝k(k≥1)時an>c_n成立，即(1＋1)(1＋)…(1＋)>成立,

則n＝k＋1時，

左邊=＝ (1＋1)(1＋)…(1＋)(1＋)

>(1＋)=                       3分

右邊= c _{k + 1}= =

     由(ak+1)³ (c _{k + 1})³ =(3k + 1)(3k+4) =

=>0,     得ak+1 > c _{k + 1}成立.

綜合上述, an>c_n對任何正整數n都成立.              3分